Racines carrées d'un nombre complexe

Énoncé

Partie A - Généralité

Soit `c` un nombre complexe. On cherche s'il existe `z \in \mathbb{C}`  tel que \(z^2=c\) .

Soit `z`  un nombre complexe tel que \(z^2=c\) . 

On pose \(c=a+ib\) avec \(a\) et \(b\) des nombres réels, et \(z=x+iy\) avec \(x\) et \(y\)  des nombres réels.

1. Montrer que \(z^2=c \iff\begin{cases}x^2 - y^2 = a ~~ (L1) \\2xy = b ~~ (L2)\end{cases}\) .

2. Montrer que  \(\left\vert z \right\vert = \sqrt{a^2 + b^2}\) .

On a donc \(z^2=c \iff\begin{cases}x^2 - y^2 = a ~~ (L1) \\2xy = b ~~ (L2) \\x^2 + y^2 = \sqrt{a^2 + b^2} ~~ (L3) \\\end{cases}\)

3. Selon le signe de \(b\) , résoudre ce système et conclure.

Partie B - Applications

1. Déterminer les nombres complexes dont le carré est égal à \(-\dfrac{3}{2} +i\dfrac{\sqrt{7}}{2}\) .

2. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(z^2+3z+4=0\)  puis l'équation \(z^4+3z^2+4=0\) .